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数学を数楽にする高校入試問題81amzn.to/3l91w2Kオンライン個別指導をしています。数学を個別に習いたい方は是非！sites.google.com/view/kawabatateppei
こちらのチャンネルは川端先生の解説ももちろん大変勉強になりますが、皆さんのコメントを拝見するとまた勉強になります‼︎
「整式の割り算のときだけ、なぜ0で割っても良いのか」について、私も受験生時代に悩みました。「整式の割り算」は「端数のある因数分解」と理解するとよいです。----------------------もし元の式が x^3-3x^2-3x+1 であれば、x^3-3x^2-3x+1 = (x^2−4x+1)(x+1)と因数分解できますね。今回はxの係数が-2（-3より1大きい）ため、両辺にxを加えてx^3-3x^2-2x+1 = (x^2−4x+1)(x+1)+xになっている、と解釈することが出来ます。因数分解は恒等式なので、xの値によらず成り立ちます。端数のある因数分解も同じです。整式の割り算(または組み立て除法)は、特定の因数を使って、端数のある因数分解を行う手段なのです。----------------------個人的な感想ですが、整式の変形(恒等式)に「割り算」という数学的に正しくない表現を使うことで、生徒を混乱させている気がしますね（指導要領や教科書がイケてない）。「整式の"割り算"は正しくは"割り算"じゃないんだよ」と説明することが、理解の第一歩だと思います。
整式の「割り算」とは言いますが、実のところ行っている作業は、「かけ算」と「引き算」ですよね。整式全体から、値が０になる部分を取り除いていく。という感覚で捉えています。
割ってるんじゃなくて括りだす作業だからね
うーん、こういう風に考えられないかな。組立除法は言葉通りに「除法」であり、割り算を実行するツールです。でも、よくみてみれば、かけ算と引き算を繰り返しているだけです。「端数のある因数分解を行う手段なのです」は、ちょっと語弊がありそうですw計算したら端数が出て来ることは想定しておかないといけないけれど、端数がある文字式と分かっていて組立除法を使うわけではないですから。一方、因数分解は言葉通りに文字式を「分解」する事であって、割るとは一言も言ってません。文字式の構成要素をつまびらかにするために乗法の逆演算＝除法を使用しているに過ぎないのです。 文字式の中には 0 になる部分が潜在しているが、その 0 になる部分をあぶり出せばシンプルな姿が浮かび上がる。とりあえず、ある部分が 0 になることは置いておいて、ある部分を顔つきだけで探し出したら（くくり出す）、0 にならない部分が出て来た、ということなのです。「割り算」「割る」という言葉の使い方に注意すべきなのはおっしゃるとおりです。
二つ目は微分で複雑な計算解くときに役に立つ
3次関数の極大値極小値求めるときこれないと死ぬ笑
韓国で先生の講義を熱心に学んでいます...世界を苦しめる一連のコロナ事態が終わると、日本に行って会いたいです...日本語も学び、数学も学んで一挙両得です...ありがとうございました...
この問題面白いし解説クッソわかりやすいな～
こんにちは。いつも楽しく見ております。今回は次数下げのほうが楽に見えました。α = x = 2-√3 , β=2+√3 とおいて、(x-α)(x-β)=0 の左辺を展開する。x^2-(α+β)x+αβ=0x^2-4x+1=0x^2=4x-1 ①x^3=4x^2-x=4(4x-1)-x=15x-4 ②①と②を求めたい式に代入するとxだけ残るので、代入して終わりかと。※解と係数の部分は先生の独りぼっち大作戦のほうが分かりやすいです。αなど上手く扱うための数の定義は難しいです。
整式の割り算は別に数値で割ってるわけではなくただの式変形だから、０で割ってるからダメなのでは...？みたいなことは起こらない。展開したら式は元に戻る。xには何を入れてもよくて、今回はx=2-√3を入れたら0になる部分と余りって感じに分けてるだけ。これがまずいってなら、x^2+2を(x-1)(x+1)+3って変形したとき、つまり式をx-1でわったときにはx=±1は入れちゃだめみたいな話になってしまう。
x^2=7-4√3 x^3=26-15√3と計算してから根性で答えまで導きました(^_^;)次数下げは初耳でした！すごいです🤪
後半の解法で解答しましたが、高校生の解き方 とは思いませんでした。
すげーーー数学全然やってないけど、めっちゃわかるー
いつも大変分り易い解説勉強になります。有難うございます。二つ目の解法ですが、０（x²-4ｘ+1＝0）で割っていますが、これは可能なのでしょうか。教えていただければ幸いです。
この整式の割り算はいわゆる普通の割り算とは違うので、可能ですね。普通の割り算を数式で表現すると、AをBで割るとは、A = QB + rとなるQ（商）とr（余り）を探すこと、となります。ただ、余りrには大きさの制約があって、0以上B未満でないといけません。ここが重要です。普通の割り算で0で割ってはいけないのは、B = 0とするとrが0以上0未満じゃないといけなくなって、そんなrは見つけられなくなるからです。ちなみに、余りを求めない方の割り算、例えば7 ÷ 2 = 3.5と答える方の割り算では、 また違う理由で０で割り算できないのですが、長くなるのでここでは説明しません。一方、この整式の割り算では、余りと割る数の大小関係はどうでもいいのです。別に気にしてもいいんでしょうけど、気にしない割り算が便利で、色々な問題を解くのに役に立つから、気にしないのが一般的に広まっているのです。実際、今回の問題では、割る数が0だったのに対し、余りは x = 2-√3で、余りの方が大きいですよね。普通の割り算、例えば7÷0だって、もし余りが割る数より大きくてもいいんだったら、定義できますよ。7 = 2 x 0 + 7だから、商は2（実は何でもいい）、余り7、といった具合に。
割り算の時点では=0とはしていないので可能です。
多項式の割り算と言っていますが、これは数値の割り算ではありません。単に式の変形をしているだけですので、文字に数値を代入して0になったらどうするといったことを考える必要はありません。
それでもまだ納得がいかないのなら、教科書参考書の多項式の除法の商と余りのところを見てください。定義と書いてあるでしょう。数値の割り算と多項式の割り算は定義が違うのです。まったく別物なのです。
ルートひとりぼっち大作戦からの字数下げね。イコール０の式で割って余りを求めてそこに代入ってすごいな😃先生の解説が素晴らし過ぎて「あっなるほど、もしかしてこう言おうとしてるのかな？」っていうのが前もってわかってきて「あっ、やっぱりね」っていうことが多い。
面白い！最近楽しみに見てます！チャンネル登録します！
ここを見ていると、整式(多項式)の除法を使っているところで、0で割っていいのですかという質問がたくさん出ていますね。数の割り算と整式の割り算を混同しているようです。社会人ならまだしも高校生なら教科書を持っているだろうに、なぜ教科書の整式の商と余りの項目を見ないのだろう？教科書を見れば恒等式の式変形であって、分数式などではない、0で割る計算ではないことはすぐ分かると思うのですが。ただ、この動画の途中で数の割り算の商と余りの類推として、整式の商と余りの関係を説明しておられたので余計に混同したのではないか、という気もします。
この問題答え出た時めっさ気持ちええ
ありがとう。割るのも良いけど、次数そろえて引いてやりました。x^2-4x+1=0の両辺にxを掛けて・・・与式から引いて、残った二次式からまたx^2-4x+1=0 を引いてxが残ったときは気持よかったです。
それ整式の割り算とやってること一緒なんだけどね…
この動画が目に止まり3乗と2乗の項に分けて、普通に計算して解きました。コメント欄を見ると、まあー、にぎやかなことー！
『中学生の解き方』と言っておきながら、実は高校生でもバッチリ使えるという、超が付くほどの実戦的な方法だったりするんですよね。
感動した√33^4-22^4-11^4のやつも大好きだけど、こっちも良い
思い付かなかったから x(x^2-3x-2)+1にx=2-√3 x^2=7-4√3 代入して計算してしまいました。計算量ではあまり変わらなかった気がしますが そう工夫できるんですね…(現在高１)
今日もお疲れ様です！
すごく参考になります！
x^2-4x+1は0だから、これで割ってはいけないのでは、という考えは、xが変数であることを忘れているからですね。つまり、x^2-4x+1が0になるのは、x=2±√3の時だけだから、それ以外は0にならない。x^2-4x+1という式で割って、後から条件のx=2－√3を入れて0にし、消している、と考えたら何も問題は無いでしょう。
確かに次数下げは高校時代に習った記憶がありました。
確かに洗練された解法で、答えが出たときはスカッとするけど、これくらいなら力技(普通に計算)で解いた方が早いような気がするそれじゃ不正解 or 減点なの？
先生ー！音が少し割れています！マイクのレベルか、編集時での音圧を少し見直してください。
次数下げするのでなければ、2+√3、2-√3を解に持つ二次法的式（X2-4ｘ-1）で割るとして（X2-4ｘ-1）・（ｘ+1）+ｘとの後は（ｘ-（2+√3））・（ｘ-（2-√3））・（ｘ+1）+ｘと一行足した方が見やすいかな？二次方程式に二つの根を利用しているのがよくわかるし。一人ぼっち作戦が、二次方程式の二つの根を導く方法を見方を変えているというのも示せる。別解は聞き流すだけでも、問題解法の幅が広がります。
なるほどね。数学の入試問題も見方が変われば解けるんだ⁉️
x=2-√3 のとき2+√3=4-(2-√3)=4-x よりx(4-x)=(2-√3)(2+√3)=1⇔x^2-4x=-1となるので、x^3-3x^2-2x+1=x(x^2-4x)+(x^2-4x)+2x+1=-x+1+2x+1=x=2-√3となる。
え？高校生の解き方では2次式で割ってますが、右辺＝０ですよね？3次式を0で割ってますが、それっていいんですか？？確かに余りがxなので、答えは2-√3にはなりますが・・・。
前半の３次方程式の次数下げのテクニックは、初めて知りました。後半の問題は、高校1年の時の学習塾のテキストは、塾講師の先生が数研出版の赤チャート数学Ⅰを使用していて、３次方程式を２次方程式で割る問題が例題として、あるページに載っていたのを久しぶりに思い出しました。この問題は、大昔、東京農業大学や日本大学農獣医学部あたりが、好みの問題だったと思います。今はどうかわかりません。
凄いです！
数学ってこういうのが気持ちいいよね
とても分かりやすく、字も見易いです、ボケ防止に役に立ちます麻雀もいいですが、ちなみに私も理科大です。
与えられた条件が答えだったという不思議な問題。
x^3 - 3x^2 - 2x + A = 0 (ただし、Aは定数） であるときの、ｘの解の１つが「３」のとき、 3^3 - 3×3^2 - 2×3 + A = 0 27 - 27 -6 + A =0 A = 6 よって、 x^3 -3x^2 -2x + 6 = 0 は、 ( x - 3 ) ( x^2 -2 ) = 0 と因数分解できる これより、 ？ = x^3 - 3x^2 - 2x + 1 は、 ？ = ( x - 3 ) ( x^2 -2 ) - 5 と変形できる x = 2 - √3 を代入して ？ = ( 2 - √3 - 3 )( (2 - √3)^2 - 2 ) - 5 = ( -1 - √3 ) ( ( 4 - 4√3 + 3 ) -2 ) - 5 = ー ( 1 +√3 ) ( 7 - 4√3 - 2 ) - 5 = ー ( 1 +√3 ) ( 5 - 4√3 ) - 5 = ー ( 5 - 4√3 + 5√3 -12 ) - 5 = ー ( - 7 + √3 ) - 5 = 2 - √3 めんどくさいけど… 【補足】 あとで気づいたけど、xの解の１つが「2」のときを 用いると、 ？＝ ( x - 2 ) ( x^2 - x -4 ) - 7 さらに2次を含むカッコ内を ( x - 2 ) でくくると、 ？＝ ( x - 2 ) ( ( x - 2 )^2 + 3x -8 ) - 7 となる x = 2 - √3 だから、 ( x - 2 ) は - √3 になり、 比較的、計算しやすい。
高校生の解き方という事ならx^2-4x+1=0はx=2±√3で解と係数の関係使って暗算で出す方がスマートだと思います。
@@user-g748 ちがいます方程式の係数が“有理数”であればa±√bの共役性が成り立ちます。複素数解とごっちゃになってますよ。
コメント欄が盛り上がる問題は面白いですね
因数定理を使わず解くために考え、中学生の気持ちになって使える公式を絞って解いてみましたx(x^2-3x-2)-4x+1 と変形し、左を因数分解x(x-2)(x-1)-4x+1 ここに与式を代入して解きました。最後同じ答えになった瞬間の気持ちよさ、楽しかった〜
−2×−1は+2なのでその因数分解って間違っていませんか？
@@nnnnnnnn6414 誤字に気付きませんでした！x(x^2-3x+2)を作るために、+4xと-4xを足しています。式で表すと、x^3-x^2+(-2x+4x)-4x+1として、上記の形に因数分解しました！訂正感謝します😆
(笑)先生の二年前をズッと拝見してましたがー凄く疲れてきましたー｡一生懸命理解しようと老化した能力をフル回転…即理解出来ない人なのでー有難うゴザイマシタ!!
京大かどっかで数の割り算と多項式の割り算をちゃんと区別してないとややこしくなる問題があったような、なかったような
混乱の原因① 式の値の計算と整式の割り算の区別がついていない。 この点は別のコメントに的確に書かれていますので割愛。混乱の原因② 式の値の計算と整式の割り算で両方とも同じ文字xを使って表現している。前提条件より、xは x^2-4x+1=0 を満たす。ところで、一般に、整式a^3-3a^2-2a+1を整式a^2−4a+1で割ると、商がa+1、余りがaなる（このaは、「x^2-4x+1=0を満たすx」とは必ずしも一致するわけではないので、xとは別のaという文字を使っています。この段階ではまだaに「x^2-4x+1=0を満たすx」は代入していないので、0で割っていることにはなりません）から、a^3-3a^2-2a+1 = (a^2−4a+1)(a+1)+aと変形できる。ここで、この等式に「x^2-4x+1=0を満たすx」を代入すると、x^3-3x^2-2x+1 = (x^2−4x+1)(x+1)+xであり、x^2-4x+1=0であるから、（左辺）= 0*(x+1)+x = x = 2-√3となる。 整式のxと特定の方程式を持たすxは意味合いが異なるので、この点の違いが分かればすっきりすると思うのですが、いかがでしょうか？
いつも見てます！
速さで比べるなら、初めの２項をXの２乗で括って順番に計算した方が早いね
年を取った今はじっくり聞けるが、若い時は意識が飛んでいた。
ゼロで割り算してますがよろしいのでしょうか？
むりやり別解をひねり出す 〔3乗を嫌って行き当たりばったり (私の暗算力だとこんな苦し紛れに)〕 x^3 - 3x^2 - 2x + 1= x * (x^2 - 3x - 2) + 1 # 括弧の中を都合よく変形して帳尻合わせしてみよう= x * {(x - 2)^2 + x - 6} + 1 # 中括弧の中に x = 2 - √3 を代入する= x * {( -√3)^2 + (2 - √3) - 6} + 1 # 2乗の計算が楽でよかった= x * {3 + 2 -√3 - 6} + 1 # 先頭の x に x = 2 - √3 を代入する= (2 - √3) * (-1 - √3) + 1= (-2 - (2-1)√3 + 3) + 1= (1 -√3) + 1= 2 - √3 〔以上〕 # た、たぶん普通に2乗や3乗するよりは楽だったさ…
高校生の解き方では、0で割ることになってますが、0で割るのはokなんでしょうか？
与式はx＝-1を代入すると0になると気付いたので、逆に(x+1)で割ってみました。なんとなく貫太郎さんの動画で見た気がしたので。「…で、そこからどうすんのさ」ってなった。
６０年くらい前を思い出しながら、頭の体操として観ています。
30年位前を思い出しながら見てたんですが、さらに30年も先輩がいらっしゃって、なんか励みになります
誘導なしだったら間違いなく三次式いじってるw
こういう系の問題は代入式を変形して、=0，１や√を消して後は代入される式を無理やり変形すれば解けるんですよね。まあ普通に代入してもいいですが。
与式の「x^3+1」を因数分解して、次数下げを代入してはどうですか？
x²-4x+1=0ならば x³-3x²-2x+1を0で割ることになりますが、いいのですか？数学では0で割ってはいけないのでは。
他の方が同じ質問と回答も有りましたね。失礼しました。
多項式の割り算の引き算って習ったっけ？習ったかなぁ～?
※なんか、無理やりだけど、x=2-√3 , 1/x=2+√3x+1/x=4なので、x^2-4x+1=0よりx^3-3x^2-2x+1 ... x(x^2-4x+1)=0を引いて=x^2-3x+1 ... (x^2-4x+1)=0を引いて=x=2-√3
筆算は勉強になりました！一つ気になることが、、、。。割る式x2-4x＋1は0ですが、0で割ってもいいんでしょうか？
x^2-4x+1で割るのは、０で割るってこと？説明を下さい。
割ってないですよ。(X^2-4X+1）でくくっているだけです。X^3-3X^２‐2^X+1=(X+1)(X^2+4X+1)+X ←割ってないですよね。
x^2=7_2√3、x^3=x*x^2=...... で強引に代入してもそんなに時間は掛からなかった
この問題は、（x^2-4x+1)で因数分解したのち、余りxが出てきますので、中学生で割り算を知らなくてもできると思います。
x^2-4x+1=0であるのに除法をしていいのかなと疑問に思いました。これは等式の変形だからセーフなのかな？
ｘ＾２＋４ｘ＋１＝０の時、X＾３－３x＾２＋ｘ＋１をｘ＾２＋４ｘ＋１で割るという事は０で割っていることになりこの計算は正しいのか？
自分はまず前２項をx^2で括りました。
普通に微分してドツボにハマりそう
x-2=√3の両辺を二乗して、そこから与式を因数分解なり変形なりするんだろうなぁ･･･とは思いましたが。あぁ、式の除算なんてあったなぁ、と。でも、これに対して「0で割ってる！」って突っ込んだらどんな解説になるんだろうなぁ？
このくらいなら直接代入してゴリ押した方が結果的に最速になりそう
私の中学の時に 多項式の筆算やりました
√3=にして二乗して…というのをすぐ思い付いたものの、x(x^2-3x-2)+1=x(x-2)(x-1)+1にぶち込んだ方が手っ取り早えぇ！と思ってしまった自分との戦いに負けました
……ダヨネ〜〜!!
私もそうできる！と思ったんですが、因数分解できてないんですよね。最後が2じゃなくて-2だったから。。。だからそのまま値入れてゴリゴリ計算しちゃいました。
そうなんですよ(苦笑)出してみたら、明らかに1より小さい数字掛けてるだけなのになんでこんな数なんの…？ってなって絶望しました(笑)
無理矢理(x-2)で括ろうとして符号ミスするわ、(x^2-x)を計算する羽目になるわで散々でしたｗあかんわー😂
いつもありがとうございます。整式の割り算、高校一年生の最初の単元でした。（１９７９年）
自分も高校時代の数Aの最初で習いました。(1996年)
「０」で割っていいのか？ とコメントがありますが，あくまでも「x²-4x+１」で割っているのであって，「0」で割っているわけではない（ｘの条件次第では０ではない）因数分解もどきを行っているので，「可」なのだと思います．そのうえで「x²-4x+１=0」と条件づけているので「あり」です．
これを中学生がやるって恐ろしいな
0で割ることに少し抵抗を感じる、分かっていない私。割るときはxは変数だから問題はないのかな。
高校入試とはいえ私立だとこんなにも紛糾する問題が出題されるとは…おそるべしですね^_^
「ルートひとりぼっち作戦」の結果「エックスひとりぼっち」お見事でした。
2つ目の解法は、０と数値が分かっているもので、割っていいんですか？０で割ってはならないという決まりがあるのに、代数だといいんですね。
同じこと思いましたなんかモヤモヤしますね
@通りすがりの数学者 さん、ゼロと分かっていなければ、多項式の変形は分かりますが、すでにゼロと判明していている多項式で割るのに違和感がありました。字余りの因数分解的なものと考えれば、わからなくもないですが、モヤモヤはします。
@@トーマスナイト さん、仲間がいた！そう思っちゃいますよね。
整式の割り算と実数での割り算は根本的に違うものです整式P(x)を整式A(x)を使ってP(x)=A(x)Q(x)+R(x)に変形できてこれをP(x)をA(x)で割ると言って、商がQ(x)、余りがR(x)になります。これはあくまで整式の式変形であって、xがなんであれこの式は成り立ってxの値は関係ありませんなので代数だから0で割れるとかではなく、整式の割り算を考える途中で値を代入して0になるということを考えること自体が意味のないことになります
Xの値はどうてもいいのです。X2-4x+1＝０と０だと分かっているに、X2-4X+1で割っていることに違和感があると言っているだけです。
これ大学の入試やんセンター試験数Ⅱで出題されるような問題
０と分かっている式で割るのはOK?
これには「0」で割ってはいけないというのは適応されないのかな
最初から答え出てた❗(笑)
疑問なのですが、文字式で値が0の場合は割るのは数学の定理から外れないのですか？
結果として０をかけて、余りから答えを出すということか。
次数下げは高校必須
一応数2Bまでは履修したはずなんだけどなぁ……😢
これって0で割ってるけどなぜ理屈が通るのかがわからない…解説お願いします！😔
０という値で割っていませんよ。ｘ²ー４ｘー１という式で割っています。割り算と言うより結局次数下げをしているのと同じだと思います。
この問題、その計算量なら普通に代入してもスピード変わんなさそう。これやるならもっと高次の整式を扱うべきでは！笑
このレベルだと、普通に代入するのが一番らくじゃないかな？
才能ある人の意見ですね
@@kskj5672 才能ない人は代入するぞたぶん
@@はまぐり-o3q 変に小細工にしなくても途中式を省略してこういう計算を瞬時にできる人って一定の割合で存在するのですよ。努力ではどうにもなりません。
@@kskj5672 そのレベルの人もいるかもね
Xだけ括って代入しました笑
変数式の場合=0であっても分母(割る数)にもってきても大丈夫なんですかね?
(x^3-3x^2-2x+1)/(x^2-4x+1)を行っているわけではないので問題ないです(x^2-4x+1)に何をかけて、何を足したら(x^3-3x^2-2x+1)になるかを考えているわけです【NG】(x^3-3x^2-2x+1)/(x^2-4x+1)＝(x+1) + x/(x^2-4x+1)０で割るというのは上記のような操作です。これは０を分母に持ってきているのでNGです【OK】(x^3-3x^2-2x+1)＝(x+1) (x^2-4x+1) + xこれは０で割っているのではなく式を変形しただけなのでOKです
何も考えず単純に2-ルート3を3回かけるのが(各項をそのまま計算する)のが一番早い気がする。酔っていても1分以内で出来た。
そうですよね。3乗の公式なんか使おうとするから遅くなるんですよね。3乗を求める時に2乗は通るからわざわざ2乗の計算不要ですよね。
元に戻った(笑)
いきなり代入作戦にいこうとする子がたまにいるので、「次数下げなどをすると計算ミスの危険性は下げられるけど、いきなり代入のほうがやりやすい？」と聞いて生徒に解法選択権を与えます。頭ごなしに１つの意見を押し付けることはしません。
ルートひとりぼっち大作戦
0で割るところを答案用紙に書くと0点になると教わりました。0で割ってはいけないわけだから見せてもいけない。文字をtとかに変えるか結果だけを書く事が重要です。
案の定、若干荒れてますね。=0になる式で割っていることに違和感を覚えている人に対しては、正しい数学的思考を持っていると褒めたいですね←何様だ？！逆にこの場合はいいのだというコメントに対して違和感を覚えます。この筆算は式変形のテクニックですので、この筆算は問題用紙の裏とかでやって、答案用紙には x^3-3x^2-2x+1 = (x^2−4x+1)(x+1)+x としれっと書いてしまえばいいだけです。ここには0の割り算の要素はありません。この変形の仕方を問われることはまずないので減点要素にはなりません。逆に書いてしまってたら、私が採点者なら少し減点するかもしれませんね。
@@yuta1010blog そうですか？0の割り算を許容した内容を答案に書いたら数学的に正しくないでしょう？私なら阿呆と言われようとも減点にしますね。まあ、答案に筆算を書くはずはないという点は同意ですが。
@@yuta1010blog この問題においてはx^2 - 4x + 1が0に書き換えられますので、0除算をしているとして減点が妥当だと思います。筆算単体で見ると整式の除算として正しくても、x^2 - 4x + 1=0という関係が成り立つという背景を考えれば満点答案ではないでしょう。万が一筆算を答案用紙に書くならば、別の文字を使うべきだと思います。
@@yuta1010blog 整式の割り算はxの値に依らず定義されるから、本問でも問題にならないってことですね。勉強になりました、ありがとうございますm(_ _)m
@@タケトリオキナ この認識は誤りです。なぜ納得されたのかはコメントが消えているのでわかりませんが。割る以上は割る数が0でないことを示さなければいけません。ところが、後で割った数を0で置き換えると、論理的に矛盾となります。最初のコメントの繰り返しですが、この割り算はあくまでも式変形のためのテクニックで、答案に書くものではありません。
@@yas-156 整式の割り算f(x) / g(x)の商q(x)と余りr(x)は恒等式f(x) = g(x)q(x) + r(x) (r(x)の次数 < g(x)の次数)を満たすq(x), r(x)によって定義されるために、あるxについてg(x) = 0であっても問題なく割り算ができます。その上で筆算を整式の割り算の筆算として考えるならば、問題設定より除数 = 0となる状況ではあるが答案に書いても誤りではない、と理解しました。yuta1010blogさんは下のページのリンクを貼られていたと思います（「整式の割り算 0」でググって出てきたページですが、見覚えがあったので）。www.shinko-keirin.co.jp/keirinkan/kou/math/entrance/pdf/35.pdf
う～～ん。０で割ってるんだよなぁ・・・ なんかピンとこないな
xに2-√3を代入したら0になっただけで、0で割っていることにはなりませんよ。
０で割るというより、（x^2－4x ＋ 1）で因数分解しているだけです０で割るというのは（与式）＝（X^3－3x^2－2x＋1）／（X^2－4x＋1）と変形することであって、今回は（X^3－3x^2－2x＋1）を（X^2－4x＋1）と因数に変形しているだけです
愚直に(a-b)^3=a^3-3a^2b+3ab^2-b^3と(a-b)^2=a^2-2ab+b^2でするとノート1ページ使う
見た瞬間次数下げ思いついた
ひとりぼっち大作戦ですね
数学を数楽にする高校入試問題81
amzn.to/3l91w2K
オンライン個別指導をしています。数学を個別に習いたい方は是非！
sites.google.com/view/kawabatateppei
こちらのチャンネルは川端先生の解説ももちろん大変勉強になりますが、皆さんのコメントを拝見するとまた勉強になります‼︎
「整式の割り算のときだけ、なぜ0で割っても良いのか」について、私も受験生時代に悩みました。
「整式の割り算」は「端数のある因数分解」と理解するとよいです。
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もし元の式が x^3-3x^2-3x+1 であれば、
x^3-3x^2-3x+1 = (x^2−4x+1)(x+1)
と因数分解できますね。
今回はxの係数が-2（-3より1大きい）ため、両辺にxを加えて
x^3-3x^2-2x+1 = (x^2−4x+1)(x+1)+x
になっている、と解釈することが出来ます。
因数分解は恒等式なので、xの値によらず成り立ちます。
端数のある因数分解も同じです。
整式の割り算(または組み立て除法)は、特定の因数を使って、端数のある因数分解を行う手段なのです。
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個人的な感想ですが、整式の変形(恒等式)に「割り算」という数学的に正しくない表現を使うことで、生徒を混乱させている気がしますね（指導要領や教科書がイケてない）。
「整式の"割り算"は正しくは"割り算"じゃないんだよ」と説明することが、理解の第一歩だと思います。
整式の「割り算」とは言いますが、実のところ行っている作業は、「かけ算」と「引き算」ですよね。
整式全体から、値が０になる部分を取り除いていく。
という感覚で捉えています。
割ってるんじゃなくて括りだす作業だからね
うーん、こういう風に考えられないかな。
組立除法は言葉通りに「除法」であり、割り算を実行するツールです。
でも、よくみてみれば、かけ算と引き算を繰り返しているだけです。
「端数のある因数分解を行う手段なのです」は、ちょっと語弊がありそうですw
計算したら端数が出て来ることは想定しておかないといけないけれど、端数がある文字式と分かっていて組立除法を使うわけではないですから。
一方、因数分解は言葉通りに文字式を「分解」する事であって、割るとは一言も言ってません。文字式の構成要素をつまびらかにするために乗法の逆演算＝除法を使用しているに過ぎないのです。
文字式の中には 0 になる部分が潜在しているが、その 0 になる部分をあぶり出せばシンプルな姿が浮かび上がる。とりあえず、ある部分が 0 になることは置いておいて、ある部分を顔つきだけで探し出したら（くくり出す）、0 にならない部分が出て来た、ということなのです。
「割り算」「割る」という言葉の使い方に注意すべきなのはおっしゃるとおりです。
二つ目は微分で複雑な計算解くときに役に立つ
3次関数の極大値極小値求めるときこれないと死ぬ笑
韓国で先生の講義を熱心に学んでいます...
世界を苦しめる一連のコロナ事態が終わると、
日本に行って会いたいです...
日本語も学び、数学も学んで一挙両得です...
ありがとうございました...
この問題面白いし解説クッソわかりやすいな～
こんにちは。いつも楽しく見ております。
今回は次数下げのほうが楽に見えました。
α = x = 2-√3 , β=2+√3 とおいて、
(x-α)(x-β)=0 の左辺を展開する。
x^2-(α+β)x+αβ=0
x^2-4x+1=0
x^2=4x-1 ①
x^3=4x^2-x=4(4x-1)-x=15x-4 ②
①と②を求めたい式に代入するとxだけ残るので、代入して終わりかと。
※解と係数の部分は先生の独りぼっち大作戦のほうが分かりやすいです。
αなど上手く扱うための数の定義は難しいです。
整式の割り算は別に数値で割ってるわけではなくただの式変形だから、０で割ってるからダメなのでは...？みたいなことは起こらない。展開したら式は元に戻る。
xには何を入れてもよくて、今回はx=2-√3を入れたら0になる部分と余りって感じに分けてるだけ。これがまずいってなら、
x^2+2を(x-1)(x+1)+3って変形したとき、つまり式をx-1でわったときにはx=±1は入れちゃだめみたいな話になってしまう。
x^2=7-4√3 x^3=26-15√3と計算してから根性で答えまで導きました(^_^;)
次数下げは初耳でした！すごいです🤪
後半の解法で解答しましたが、
高校生の解き方 とは思いませんでした。
すげーーー
数学全然やってないけど、めっちゃわかるー
いつも大変分り易い解説勉強になります。有難うございます。
二つ目の解法ですが、０（x²-4ｘ+1＝0）で割っていますが、これは可能なのでしょうか。
教えていただければ幸いです。
この整式の割り算はいわゆる普通の割り算とは違うので、可能ですね。
普通の割り算を数式で表現すると、AをBで割るとは、A = QB + rとなるQ（商）とr（余り）を探すこと、となります。ただ、余りrには大きさの制約があって、0以上B未満でないといけません。ここが重要です。
普通の割り算で0で割ってはいけないのは、B = 0とするとrが0以上0未満じゃないといけなくなって、そんなrは見つけられなくなるからです。
ちなみに、余りを求めない方の割り算、例えば7 ÷ 2 = 3.5と答える方の割り算では、 また違う理由で０で割り算できないのですが、長くなるのでここでは説明しません。
一方、この整式の割り算では、余りと割る数の大小関係はどうでもいいのです。別に気にしてもいいんでしょうけど、気にしない割り算が便利で、色々な問題を解くのに役に立つから、気にしないのが一般的に広まっているのです。実際、今回の問題では、割る数が0だったのに対し、余りは x = 2-√3で、余りの方が大きいですよね。
普通の割り算、例えば7÷0だって、もし余りが割る数より大きくてもいいんだったら、定義できますよ。7 = 2 x 0 + 7だから、商は2（実は何でもいい）、余り7、といった具合に。
割り算の時点では=0とはしていないので可能です。
多項式の割り算と言っていますが、これは数値の割り算ではありません。単に式の変形をしているだけですので、文字に数値を代入して0になったらどうするといったことを考える必要はありません。
それでもまだ納得がいかないのなら、教科書参考書の多項式の除法の商と余りのところを見てください。定義と書いてあるでしょう。
数値の割り算と多項式の割り算は定義が違うのです。まったく別物なのです。
ルートひとりぼっち大作戦からの字数下げね。
イコール０の式で割って余りを求めてそこに代入ってすごいな😃
先生の解説が素晴らし過ぎて「あっなるほど、もしかしてこう言おうとしてるのかな？」っていうのが前もってわかってきて「あっ、やっぱりね」っていうことが多い。
面白い！最近楽しみに見てます！チャンネル登録します！
ここを見ていると、整式(多項式)の除法を使っているところで、0で割っていいのですかという質問がたくさん出ていますね。
数の割り算と整式の割り算を混同しているようです。
社会人ならまだしも高校生なら教科書を持っているだろうに、なぜ教科書の整式の商と余りの項目を見ないのだろう？
教科書を見れば恒等式の式変形であって、分数式などではない、0で割る計算ではないことはすぐ分かると思うのですが。
ただ、この動画の途中で数の割り算の商と余りの類推として、整式の商と余りの関係を説明しておられたので余計に混同したのではないか、という気もします。
この問題答え出た時めっさ気持ちええ
ありがとう。
割るのも良いけど、次数そろえて引いてやりました。
x^2-4x+1=0
の両辺にxを掛けて・・・与式から引いて、残った二次式からまたx^2-4x+1=0 を引いて
xが残ったときは気持よかったです。
それ整式の割り算とやってること一緒なんだけどね…
この動画が目に止まり3乗と2乗の項に分けて、普通に計算して解きました。コメント欄を見ると、まあー、にぎやかなことー！
『中学生の解き方』と言っておきながら、実は高校生でもバッチリ使えるという、超が付くほどの実戦的な方法だったりするんですよね。
感動した
√33^4-22^4-11^4のやつも大好きだけど、こっちも良い
思い付かなかったから x(x^2-3x-2)+1に
x=2-√3 x^2=7-4√3 代入して計算してしまいました。計算量ではあまり変わらなかった気がしますが
そう工夫できるんですね…
(現在高１)
今日もお疲れ様です！
すごく参考になります！
x^2-4x+1は0だから、これで割ってはいけないのでは、という考えは、xが変数であることを忘れているからですね。つまり、x^2-4x+1が0になるのは、x=2±√3の時だけだから、それ以外は0にならない。x^2-4x+1という式で割って、後から条件のx=2－√3を入れて0にし、消している、と考えたら何も問題は無いでしょう。
確かに次数下げは高校時代に習った記憶がありました。
確かに洗練された解法で、答えが出たときはスカッとするけど、これくらいなら力技(普通に計算)で解いた方が早いような気がする
それじゃ不正解 or 減点なの？
先生ー！音が少し割れています！
マイクのレベルか、編集時での音圧を少し見直してください。
次数下げするのでなければ、2+√3、2-√3を解に持つ二次法的式（X2-4ｘ-1）で割るとして
（X2-4ｘ-1）・（ｘ+1）+ｘとの後は（ｘ-（2+√3））・（ｘ-（2-√3））・（ｘ+1）+ｘと一行足した方が見やすいかな？
二次方程式に二つの根を利用しているのがよくわかるし。一人ぼっち作戦が、二次方程式の二つの根を導く方法を見方を変えているというのも示せる。
別解は聞き流すだけでも、問題解法の幅が広がります。
なるほどね。数学の入試問題も見方が変われば解けるんだ⁉️
x=2-√3 のとき
2+√3=4-(2-√3)=4-x より
x(4-x)=(2-√3)(2+√3)=1
⇔x^2-4x=-1
となるので、
x^3-3x^2-2x+1
=x(x^2-4x)+(x^2-4x)+2x+1
=-x+1+2x+1
=x
=2-√3
となる。
え？
高校生の解き方では2次式で割ってますが、右辺＝０ですよね？
3次式を0で割ってますが、それっていいんですか？？
確かに余りがxなので、答えは2-√3にはなりますが・・・。
前半の３次方程式の次数下げのテクニックは、初めて知りました。後半の問題は、高校1年の時の学習塾のテキストは、塾講師の先生が数研出版の赤チャート数学Ⅰを使用していて、３次方程式を２次方程式で割る問題が例題として、あるページに載っていたのを久しぶりに思い出しました。この問題は、大昔、東京農業大学や日本大学農獣医学部あたりが、好みの問題だったと思います。今はどうかわかりません。
凄いです！
数学ってこういうのが気持ちいいよね
とても分かりやすく、字も見易いです、ボケ防止に役に立ちます麻雀もいいですが、ちなみに私も理科大です。
与えられた条件が答えだったという不思議な問題。
x^3 - 3x^2 - 2x + A = 0 (ただし、Aは定数）
であるときの、ｘの解の１つが「３」のとき、
3^3 - 3×3^2 - 2×3 + A = 0
27 - 27 -6 + A =0
A = 6
よって、
x^3 -3x^2 -2x + 6 = 0 は、
( x - 3 ) ( x^2 -2 ) = 0 と因数分解できる
これより、
？ = x^3 - 3x^2 - 2x + 1 は、
？ = ( x - 3 ) ( x^2 -2 ) - 5 と変形できる
x = 2 - √3 を代入して
？ = ( 2 - √3 - 3 )( (2 - √3)^2 - 2 ) - 5
= ( -1 - √3 ) ( ( 4 - 4√3 + 3 ) -2 ) - 5
= ー ( 1 +√3 ) ( 7 - 4√3 - 2 ) - 5
= ー ( 1 +√3 ) ( 5 - 4√3 ) - 5
= ー ( 5 - 4√3 + 5√3 -12 ) - 5
= ー ( - 7 + √3 ) - 5
= 2 - √3
めんどくさいけど…
【補足】
あとで気づいたけど、xの解の１つが「2」のときを
用いると、
？＝ ( x - 2 ) ( x^2 - x -4 ) - 7
さらに2次を含むカッコ内を ( x - 2 ) でくくると、
？＝ ( x - 2 ) ( ( x - 2 )^2 + 3x -8 ) - 7 となる
x = 2 - √3 だから、 ( x - 2 ) は - √3 になり、
比較的、計算しやすい。
高校生の解き方という事ならx^2-4x+1=0は
x=2±√3で解と係数の関係使って暗算で出す方がスマートだと思います。
@@user-g748
ちがいます
方程式の係数が“有理数”であれば
a±√bの共役性が成り立ちます。
複素数解とごっちゃになってますよ。
コメント欄が盛り上がる問題は面白いですね
因数定理を使わず解くために考え、中学生の気持ちになって使える公式を絞って解いてみました
x(x^2-3x-2)-4x+1 と変形し、左を因数分解
x(x-2)(x-1)-4x+1 ここに与式を代入して解きました。最後同じ答えになった瞬間の気持ちよさ、楽しかった〜
−2×−1は+2なのでその因数分解って間違っていませんか？
@@nnnnnnnn6414
誤字に気付きませんでした！
x(x^2-3x+2)
を作るために、+4xと-4xを足しています。式で表すと、
x^3-x^2+(-2x+4x)-4x+1として、上記の形に因数分解しました！
訂正感謝します😆
(笑)先生の二年前をズッと拝見してましたがー凄く疲れてきましたー｡一生懸命理解しようと老化した能力をフル回転…即理解出来ない人なのでー有難うゴザイマシタ!!
京大かどっかで数の割り算と多項式の割り算をちゃんと区別してないと
ややこしくなる問題があったような、なかったような
混乱の原因① 式の値の計算と整式の割り算の区別がついていない。
この点は別のコメントに的確に書かれていますので割愛。
混乱の原因② 式の値の計算と整式の割り算で両方とも同じ文字xを使って表現している。
前提条件より、xは x^2-4x+1=0 を満たす。
ところで、一般に、整式a^3-3a^2-2a+1を整式a^2−4a+1で割ると、商がa+1、余りがaなる（このaは、「x^2-4x+1=0を満たすx」とは必ずしも一致するわけではないので、xとは別のaという文字を使っています。この段階ではまだaに「x^2-4x+1=0を満たすx」は代入していないので、0で割っていることにはなりません）から、
a^3-3a^2-2a+1 = (a^2−4a+1)(a+1)+a
と変形できる。
ここで、この等式に「x^2-4x+1=0を満たすx」を代入すると、
x^3-3x^2-2x+1 = (x^2−4x+1)(x+1)+x
であり、x^2-4x+1=0であるから、（左辺）= 0*(x+1)+x = x = 2-√3
となる。
整式のxと特定の方程式を持たすxは意味合いが異なるので、この点の違いが分かればすっきりすると思うのですが、いかがでしょうか？
いつも見てます！
速さで比べるなら、初めの２項をXの２乗で括って順番に計算した方が早いね
年を取った今はじっくり聞けるが、若い時は意識が飛んでいた。
ゼロで割り算してますがよろしいのでしょうか？
むりやり別解をひねり出す 〔3乗を嫌って行き当たりばったり (私の暗算力だとこんな苦し紛れに)〕
x^3 - 3x^2 - 2x + 1
= x * (x^2 - 3x - 2) + 1 # 括弧の中を都合よく変形して帳尻合わせしてみよう
= x * {(x - 2)^2 + x - 6} + 1 # 中括弧の中に x = 2 - √3 を代入する
= x * {( -√3)^2 + (2 - √3) - 6} + 1 # 2乗の計算が楽でよかった
= x * {3 + 2 -√3 - 6} + 1 # 先頭の x に x = 2 - √3 を代入する
= (2 - √3) * (-1 - √3) + 1
= (-2 - (2-1)√3 + 3) + 1
= (1 -√3) + 1
= 2 - √3 〔以上〕 # た、たぶん普通に2乗や3乗するよりは楽だったさ…
高校生の解き方では、0で割ることになってますが、0で割るのはokなんでしょうか？
与式はx＝-1を代入すると0になると気付いたので、逆に(x+1)で割ってみました。なんとなく貫太郎さんの動画で見た気がしたので。
「…で、そこからどうすんのさ」ってなった。
６０年くらい前を思い出しながら、頭の体操として観ています。
30年位前を思い出しながら見てたんですが、さらに30年も先輩がいらっしゃって、なんか励みになります
誘導なしだったら間違いなく三次式いじってるw
こういう系の問題は代入式を変形して、=0，１や√を消して後は代入される式を無理やり変形すれば解けるんですよね。
まあ普通に代入してもいいですが。
与式の「x^3+1」を因数分解して、次数下げを代入してはどうですか？
x²-4x+1=0ならば x³-3x²-2x+1を0で割ることになりますが、いいのですか？
数学では0で割ってはいけないのでは。
他の方が同じ質問と回答も有りましたね。失礼しました。
多項式の割り算の引き算って習ったっけ？
習ったかなぁ～?
※なんか、無理やりだけど、
x=2-√3 , 1/x=2+√3
x+1/x=4なので、x^2-4x+1=0より
x^3-3x^2-2x+1 ... x(x^2-4x+1)=0を引いて
=x^2-3x+1 ... (x^2-4x+1)=0を引いて
=x=2-√3
筆算は勉強になりました！
一つ気になることが、、、。。
割る式x2-4x＋1は0ですが、
0で割ってもいいんでしょうか？
x^2-4x+1で割るのは、０で割るってこと？説明を下さい。
割ってないですよ。(X^2-4X+1）でくくっているだけです。
X^3-3X^２‐2^X+1=(X+1)(X^2+4X+1)+X ←割ってないですよね。
x^2=7_2√3、x^3=x*x^2=...... で強引に代入してもそんなに時間は掛からなかった
この問題は、（x^2-4x+1)で因数分解したのち、余りxが出てきますので、中学生で割り算を知らなくてもできると思います。
x^2-4x+1=0であるのに除法をしていいのかなと疑問に思いました。
これは等式の変形だからセーフなのかな？
ｘ＾２＋４ｘ＋１＝０の時、X＾３－３x＾２＋ｘ＋１をｘ＾２＋４ｘ＋１で割るという事は０で割っていることになりこの計算は正しいのか？
自分はまず前２項をx^2で括りました。
普通に微分してドツボにハマりそう
x-2=√3の両辺を二乗して、そこから与式を因数分解なり変形なりするんだろうなぁ･･･とは思いましたが。
あぁ、式の除算なんてあったなぁ、と。
でも、これに対して「0で割ってる！」って突っ込んだらどんな解説になるんだろうなぁ？
このくらいなら直接代入してゴリ押した方が結果的に最速になりそう
私の中学の時に 多項式の筆算やりました
√3=にして二乗して…というのをすぐ思い付いたものの、
x(x^2-3x-2)+1
=x(x-2)(x-1)+1
にぶち込んだ方が手っ取り早えぇ！と思ってしまった自分との戦いに負けました
……ダヨネ〜〜!!
私もそうできる！と思ったんですが、因数分解できてないんですよね。最後が2じゃなくて-2だったから。。。だからそのまま値入れてゴリゴリ計算しちゃいました。
そうなんですよ(苦笑)
出してみたら、明らかに1より小さい数字掛けてるだけなのになんでこんな数なんの…？
ってなって絶望しました(笑)
無理矢理(x-2)で括ろうとして符号ミスするわ、(x^2-x)を計算する羽目になるわで散々でしたｗ
あかんわー😂
いつもありがとうございます。
整式の割り算、高校一年生の最初の単元でした。（１９７９年）
自分も高校時代の数Aの最初で習いました。(1996年)
「０」で割っていいのか？ とコメントがありますが，あくまでも「x²-4x+１」で割っているのであって，「0」で割っているわけではない（ｘの条件次第では０ではない）
因数分解もどきを行っているので，「可」なのだと思います．そのうえで「x²-4x+１=0」と条件づけているので「あり」です．
これを中学生がやるって恐ろしいな
0で割ることに少し抵抗を感じる、分かっていない私。
割るときはxは変数だから問題はないのかな。
高校入試とはいえ私立だとこんなにも紛糾する問題が出題されるとは…
おそるべしですね^_^
「ルートひとりぼっち作戦」の結果「エックスひとりぼっち」
お見事でした。
2つ目の解法は、０と数値が分かっているもので、割っていいんですか？
０で割ってはならないという決まりがあるのに、代数だといいんですね。
同じこと思いました
なんかモヤモヤしますね
@通りすがりの数学者 さん、ゼロと分かっていなければ、多項式の変形は分かりますが、すでにゼロと判明していている多項式で割るのに違和感がありました。
字余りの因数分解的なものと考えれば、わからなくもないですが、モヤモヤはします。
@@トーマスナイト さん、仲間がいた！
そう思っちゃいますよね。
整式の割り算と実数での割り算は根本的に違うものです
整式P(x)を整式A(x)を使ってP(x)=A(x)Q(x)+R(x)に変形できてこれをP(x)をA(x)で割ると言って、商がQ(x)、余りがR(x)になります。これはあくまで整式の式変形であって、xがなんであれこの式は成り立ってxの値は関係ありません
なので代数だから0で割れるとかではなく、整式の割り算を考える途中で値を代入して0になるということを考えること自体が意味のないことになります
Xの値はどうてもいいのです。
X2-4x+1＝０と０だと分かっているに、X2-4X+1で割っていることに違和感があると言っているだけです。
これ大学の入試やん
センター試験数Ⅱで出題されるような問題
０と分かっている式で割るのはOK?
これには「0」で割ってはいけないというのは適応されないのかな
最初から答え出てた❗(笑)
疑問なのですが、文字式で値が0の場合は割るのは数学の定理から外れないのですか？
結果として０をかけて、余りから答えを出すということか。
次数下げは高校必須
一応数2Bまでは履修したはずなんだけどなぁ……😢
これって0で割ってるけどなぜ理屈が通るのかがわからない…解説お願いします！😔
０という値で割っていませんよ。
ｘ²ー４ｘー１という式で割っています。
割り算と言うより結局次数下げをしているのと同じだと思います。
この問題、その計算量なら普通に代入してもスピード変わんなさそう。これやるならもっと高次の整式を扱うべきでは！笑
このレベルだと、普通に代入するのが一番らくじゃないかな？
才能ある人の意見ですね
@@kskj5672 才能ない人は代入するぞたぶん
@@はまぐり-o3q 変に小細工にしなくても途中式を省略してこういう計算を瞬時にできる人って一定の割合で存在するのですよ。努力ではどうにもなりません。
@@kskj5672 そのレベルの人もいるかもね
Xだけ括って代入しました笑
変数式の場合=0であっても分母(割る数)にもってきても大丈夫なんですかね?
(x^3-3x^2-2x+1)/(x^2-4x+1)を行っているわけではないので問題ないです
(x^2-4x+1)に何をかけて、何を足したら(x^3-3x^2-2x+1)になるかを考えているわけです
【NG】
(x^3-3x^2-2x+1)/(x^2-4x+1)＝(x+1) + x/(x^2-4x+1)
０で割るというのは上記のような操作です。
これは０を分母に持ってきているのでNGです
【OK】
(x^3-3x^2-2x+1)＝(x+1) (x^2-4x+1) + x
これは０で割っているのではなく式を変形しただけなのでOKです
何も考えず単純に2-ルート3を3回かけるのが(各項をそのまま計算する)のが一番早い気がする。酔っていても1分以内で出来た。
そうですよね。3乗の公式なんか使おうとするから遅くなるんですよね。3乗を求める時に2乗は通るからわざわざ2乗の計算不要ですよね。
元に戻った(笑)
いきなり代入作戦にいこうとする子がたまにいるので、「次数下げなどをすると計算ミスの危険性は下げられるけど、いきなり代入のほうがやりやすい？」と聞いて生徒に解法選択権を与えます。
頭ごなしに１つの意見を押し付けることはしません。
ルートひとりぼっち大作戦
0で割るところを答案用紙に書くと0点になると教わりました。0で割ってはいけないわけだから見せてもいけない。文字をtとかに変えるか結果だけを書く事が重要です。
案の定、若干荒れてますね。
=0になる式で割っていることに違和感を覚えている人に対しては、正しい数学的思考を持っていると褒めたいですね←何様だ？！
逆にこの場合はいいのだというコメントに対して違和感を覚えます。
この筆算は式変形のテクニックですので、この筆算は問題用紙の裏とかでやって、答案用紙には x^3-3x^2-2x+1 = (x^2−4x+1)(x+1)+x としれっと書いてしまえばいいだけです。ここには0の割り算の要素はありません。この変形の仕方を問われることはまずないので減点要素にはなりません。逆に書いてしまってたら、私が採点者なら少し減点するかもしれませんね。
@@yuta1010blog そうですか？0の割り算を許容した内容を答案に書いたら数学的に正しくないでしょう？私なら阿呆と言われようとも減点にしますね。
まあ、答案に筆算を書くはずはないという点は同意ですが。
@@yuta1010blog
この問題においてはx^2 - 4x + 1が0に書き換えられますので、0除算をしているとして減点が妥当だと思います。
筆算単体で見ると整式の除算として正しくても、x^2 - 4x + 1=0という関係が成り立つという背景を考えれば満点答案ではないでしょう。
万が一筆算を答案用紙に書くならば、別の文字を使うべきだと思います。
@@yuta1010blog
整式の割り算はxの値に依らず定義されるから、本問でも問題にならないってことですね。
勉強になりました、ありがとうございますm(_ _)m
@@タケトリオキナ この認識は誤りです。なぜ納得されたのかはコメントが消えているのでわかりませんが。
割る以上は割る数が0でないことを示さなければいけません。ところが、後で割った数を0で置き換えると、論理的に矛盾となります。
最初のコメントの繰り返しですが、この割り算はあくまでも式変形のためのテクニックで、答案に書くものではありません。
@@yas-156
整式の割り算f(x) / g(x)の商q(x)と余りr(x)は恒等式
f(x) = g(x)q(x) + r(x) (r(x)の次数 < g(x)の次数)
を満たすq(x), r(x)によって定義されるために、あるxについてg(x) = 0であっても問題なく割り算ができます。
その上で筆算を整式の割り算の筆算として考えるならば、問題設定より除数 = 0となる状況ではあるが答案に書いても誤りではない、と理解しました。
yuta1010blogさんは下のページのリンクを貼られていたと思います（「整式の割り算 0」でググって出てきたページですが、見覚えがあったので）。
www.shinko-keirin.co.jp/keirinkan/kou/math/entrance/pdf/35.pdf
う～～ん。０で割ってるんだよなぁ・・・ なんかピンとこないな
xに2-√3を代入したら0になっただけで、0で割っていることにはなりませんよ。
０で割るというより、（x^2－4x ＋ 1）で因数分解しているだけです
０で割るというのは
（与式）＝（X^3－3x^2－2x＋1）／（X^2－4x＋1）
と変形することであって、
今回は（X^3－3x^2－2x＋1）を（X^2－4x＋1）と因数に変形しているだけです
愚直に
(a-b)^3=a^3-3a^2b+3ab^2-b^3
と
(a-b)^2=a^2-2ab+b^2
ですると
ノート1ページ使う
見た瞬間次数下げ思いついた
ひとりぼっち大作戦ですね